Il potenziale fra due sfere cariche

Luca propone un problema:

Una sfera metallica di raggio R = 0,10 m è caricata uniformemente con una carica Q₁ = 10^–12 C. Una seconda sfera metallica cava di raggi R₂ = 0, 40 m e R₃ = 0,50 m è concentrica con la prima. Se la sfera cava contiene una carica Q₂ (non nota) sulla superficie interna e Q₃ = 2·10^–12 C su quella esterna, calcolare il potenziale elettrico nel punto a distanza d = 0,25 m dal centro.

Ecco la mia risposta:

Per determinare Q₂ ragioniamo così. Supponiamo che la sfera maggiore cava sia inizialmente neutra. Ponendo al centro della sua cavità la sfera minore carica con carica Q₁, per induzione si formerà una distribuzione di carica negativa sulla superficie interna, pari a –Q₁, e una distribuzione di carica positiva sulla superficie esterna, pari a Q₁. In questo modo, all'esterno della sfera maggiore, il sistema risulterà avere una carica complessiva Q₁ pari alla carica della sfera minore.
Ora depositiamo sulla superficie esterna della sfera maggiore una carica ulteriore, pari alla differenza fra Q₃ e Q₁ (in modo che la superficie esterna assuma la carica Q₃ desiderata). Questo non modificherà la carica presente sulla superficie interna, che resterà Q₂ = –Q₁ = –1 pC.
La carica totale sulla sfera maggiore cava risulterà quindi Q = Q₃ + Q₂ = 1 pC, e la carica totale del sistema risulterà Q_tot = Q + Q₁ = 2 pC.

Passiamo al potenziale. In un punto a distanza r dal centro all'esterno della sfera maggiore il potenziale coincide con quello di una carica puntiforme Q_tot: Q_tot/4πε₀r. Il valore sulla superficie esterna è V(R₃) = Q_tot/4πε₀R₃. Poiché i conduttori sono volumi equipotenziali, anche sulla superficie interna sarà V(R₂) = Q_tot/4πε₀R₂.

Ora viene la parte difficile. Fra le due sfere il potenziale avrà di nuovo l'andamento proprio del potenziale di una carica puntiforme, con il valore della carica questa volta pari a Q₁. Ma stavolta non possiamo porre il suo valore uguale a zero all'infinito, perché il valore V(R₂) è stato appena fissato.
Ragioniamo così. La differenza di potenziale fra R₂ e un punto a distanza r compreso fra le sfere sarà uguale alla differenza di potenziale per il caso di una carica Q₁ puntiforme: V(R₂) – V(r) = Q₁/4πε₀R₂ – Q₁/4πε₀r. Poiché V(R₂) = Q_tot/4πε₀R₂, si ha Q_tot/4πε₀R₂ – V(r) = Q₁/4πε₀R₂ – Q₁/4πε₀r. Da qui si ricava V(r) = Q_tot/4πε₀R₂ – Q₁/4πε₀R₂ + Q₁/4πε₀r. Si noti che, per r = R₂, questa espressione dà V(r) = V(R₂), come deve essere.